我们把一根绳子依次绕在一根圆木柱上,设绳与木柱间的摩擦系数为k,绳绕在木柱上的弧度数为a(每绕一圈为2π弧度),用手拉着绳子一端的力为f,则f可克服绳子另一端的力F=fe^ka(式中e=2.71828……为自然对数的底)。这就是18世纪瑞士著名数学家欧拉发现的欧拉公式。
以下为《趣味物理学续编》里的一则实例:科幻小说家儒勒·凡尔纳在《马蒂斯·桑多尔夫》中描述“大力士”通过绕在铁桩上三圈的钢索拉住船坞斜坡上重量为50吨的船(船坞坡度为0.1,应拉住的重量为50×0.1=5吨),问“大力士”要用多大的力?在这一实例中F=5000公斤,a=2π×3=6π,k=0.333,将它们代入欧拉公式,求得f=9公斤。可见这个“大力士”谁都可以充当,也可见绕在柱上的绳把力“放大”了。
欧拉公式指明的原理(绕在柱上的绳圈数越多,越能克服更大的力)在生产、生活中有着广泛的用途。例如,绳结要打得牢,就要用到上述原理:绳子围绕着自己缠绕的圈数越多,曲折越多,则结越牢固而不易松脱。缝衣、钉钮扣时,把线头绕几转后再打结,最后再把线扯断也是一例。